Решение задач «Решить 10 задач по математике 11 класса»,
Математика в Санкт-Петербурге

1. Мистер Фокс разрезал прямоугольник на шесть квадратов. Найдите сторону самого большого из квадратов, если сторона самого маленького равна 7. (Рис.ниже. ) 2. Мистер Форд подсчитал, для скольких натуральных чисел от 1 до 6001 их сумма цифр кратна 5 . Какое число у него получилось? 3. На доске написаны натуральные числа от 1 до 30000. За один ход можно взять НОК всех чисел, разделить его на одно из чисел и результат деления записать на доску вместо этого числа. Мистер Фокс стремится к тому, чтобы на доске было как можно меньше разных чисел. Какого наименьшего числа разных чисел он сможет добиться такими операциями? 4. Из вершины параллелограмма опущены перпендикуляры на две его противоположные стороны. Найдите площадь треугольника, образованного этими высотами, если стороны параллелограмма равны 4 и 5 , а его площадь равна 6. 5. На клетчатой бумаге нарисован квадрат 20 x20 , все стороны (их длины равны 20) которого идут по линиям сетки. Какое наименьшее число прямых, не параллельных линиям сетки, нужно провести, чтобы вычеркнуть все узлы, находящиеся на границе или внутри квадрата? 6. Дан квадрат 7 на 7. Его разрезали на n прямоугольников (некоторые из которых могут быть одинаковыми). Оказалось, что из этих прямоугольников можно составить любой прямоугольник, обе стороны которого — натуральные числа, не превосходящие 7. Может ли n быть равно 49,21,14,9,8? 7. В группе 120 студентов. У каждого студента не более 5-ти друзей и среди любых пяти студентов найдутся двое, не дружащих друг с другом. При каком наибольшем n можно заведомо утверждать, что в этой группе найдутся n студентов, никакие двое из которых не дружат? 8. Раскрасим остатки от деления на 2048 в несколько цветов. Три остатка a, b и c называются "триплетом", если a+b-c делится на 2048 . Триплет называется "разноцветным", если среди остатков, образующих его, нет остатков одного цвета. Раскраска называется "тусклой", если в ней нет ни одного разноцветного триплета. Какое наибольшее количество цветов может иметь тусклая раскраска? 9. В коробке у Оли и Саши лежат несколько плюшевых игрушек, каждая стоит не более 50 рублей. Оказалось, что как бы они ни поделили эти игрушки, хотя бы у кого-то одного из них суммарная стоимость игрушек будет не больше 50 рублей. Какую наибольшую суммарную стоимость могут иметь игрушки? 10. Сколько существует троек натуральных чисел a,b,c, удовлетворяющих уравнению a+ab+abc+ac+c=392?